Что такое одночлен?

Одночлен — одно из базовых выражений в алгебре. Первая встреча с этим понятием происходит ещё во время обучения в школе. В дальнейшем одночленами активно пользуются во время изучения высшей математики, физики, любых технических дисциплин.

Определение и примеры

Одночлен — алгебраическое выражение, представленное в виде произведения числа и переменных в натуральной степени. Ранее его называли «мономом», но сегодня этот термин является устаревшим.

В одночленах отсутствуют знаки арифметических операций. Здесь нет сложения, вычитания, деления. Например, выражения 6+х или 4/y, не одночлены, так как содержат знаки сложения и деления соответственно, а должно быть только произведение.

Поскольку в одночлене переменные могут быть в любой степени, в том числе и в нулевой, то, само по себе, любое число является частным случаем одночлена, например: 5 = 5х⁰.

Варианты одночленов:

• 8my³
• -78a²
• ac

Коэффициентом одночлена называют множитель в виде числа, буквенные части — это переменные.

Степенью одночлена вычисляют, суммировав все показатели степеней при буквенных множителях. К примеру, 6х³ это одночлен третьей степени, а 8а²х⁴ —шестой, 5t — первой, 4 — нулевой.

Есть в алгебре ещё понятие подобных одночленов. Их отличие друг от друга заключается лишь в числовом коэффициенте. Также подобными называют равные одночлены.

Примеры подобных одночленов:

• 7x и -9x
• 3y³x 9y³x
• 5a и 5a

Чем отличаются от многочленов

Многочленами называют выражения, представляющие собой суммы из нескольких одночленов. Причём все они могут быть приведены к стандартному виду посредством несложных математических манипуляций.

Примеры многочленов:

• 4a²b – 2ab;
• x⁴y + 5xy – 3;
• 6a²b – ab + 8.

В одночленах присутствует только два алгебраических действия. Первое — умножение чисел и переменных, второе — возведение в степень переменных. В многочленах же, кроме перечисленных выше, присутствуют также арифметические действия — сложение и/или вычитание.

Свойства одночленов

Чтобы грамотно манипулировать одночленами в ходе алгебраических вычислений, важно досконально знать их свойства:

• Одночлены считаются равными, если единственное, что их отличает — порядок множителей. Например: (-15,4)xyz = x(-15,4)yz. А вот 5xy ≠ -5xy, так как эти одночлены отличаются числовыми множителями.
• Два одночлена считаются равными, если один из них — результат замены определённых числовых множителей на произведение в другом одночлене. Например: -15xy = 5x(-3y).
• Одночлен имеет нулевое значение, если среди его множителей есть 0. Например: 3x*0y = 0.
• Два одночлена считаются равными, если один из них получили, устранив из выражения второй множитель, равный единице. Например: 8x*1y = 8xy.

С одночленами можно совершать различные действия:

• Складывать и вычитать. Это разрешается делать, если у двух выражений одинаковые буквенные множители. А коэффициенты могут быть разными.
• Перемножать. Для этого выполняют умножение буквенных и числовых частей.
• Делить. Оно выполняется в соответствии с правилами деления степеней.
• Возводить в степень. Его также производят согласно общеизвестным математическим правилам.

Также одночлены можно раскладывать на множители, состоящие из чисел и переменных, его составляющих. Умение работать с одночленами позволяет быстро приводить сложные выражения в более простой вид, решать разнообразные уравнения, математические и технические задачи.